Leyes de Morgan

¿Qué son las Leyes de De Morgan?

     En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.

Las reglas se pueden expresar en español como:

• La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
• La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.

o informalmente como:

<< No (A y B) es lo mismo que (No A) o (No B) >>

y también,

<< No (A o B) es lo mismo que (No A) y (No B) >>

Las reglas pueden ser expresadas en lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:

donde:

     Las Leyes de Morgan habrían sido establecidas a fin de permitirle al matemático la posibilidad de cambiar el operador de conjunción a un operador de disyunción, así también como su proceso contrario, por medio del cual el matemático podría cambiar el operador de disyunción por un operador de conjunción, tanto si estas conjunciones y disyunciones son afirmadas o negadas, de forma absoluta o en algunas de sus partes. Así mismo, las Leyes de Morgan se erigen también como reglas de inferencia válidas, que permiten dentro de la lógica proposicional, expresar tanto conjunciones y disyunciones a través de términos de una “vía negación”.

Primera Ley de Morgan:

     El complemento de un producto de “n” variables es igual a la suma de los complementos de “n” variables. En otras palabras el complemento de dos o más variables a las que se les aplica la operación AND es equivalente a aplicar la operación OR.

X ∙ Y = X + Y
Ejemplo:

Suponiendo que tenemos la siguiente expresión:

A ∙ B ∙ C ∙ D

Considerando A=1, B=0, C=1 y D=0

Aplicando la primera ley de De Morgan:

A ∙ B ∙ C ∙ D = A + B + C + D

Al sustituir los valores correspondientes de las letras obtenemos:

1 ∙ 0 ∙ 1 ∙ 0 = 1 + 0 + 1 + 0

Al realizar la multiplicación del lado izquierdo de la ecuación obtenemos “0” negado.

0 = 1 + 0 + 1 + 0

Aplicamos la negación o inverso y el resultado sería:

1 = 0 +1 + 0 + 1

Ahora bien al sumar los números lógicos tenemos que 1 + 1 = 1 por lo tanto:

1 = 1

Segunda Ley de Morgan:

El complemento de una suma de “n” variables es igual al producto de los complementos de “n” variables. En otras palabras el complemento de dos o más variables a las que se les aplica la operación OR es equivalente a aplicar la operación AND.

X + Y = X ∙ Y

Ejemplo:

Suponiendo que tenemos la siguiente expresión:

A + B + C + D

Considerando A=1, B=0, C=1 y D=0

Aplicando el segundo teorema de De Morgan:

A + B + C + D = A ∙ B ∙ C ∙ D

Al sustituir los valores correspondientes de las letras obtenemos:

1 + 0 + 1 + 0 = 1 ∙ 0 ∙ 1 ∙ 0

Al realizar la suma del lado izquierdo de la ecuación obtenemos “1” negado, recordemos que 1 + 1 = 1.

1 = 1 ∙ 0 ∙ 1 ∙ 0

Aplicamos la negación o inverso y el resultado sería:

0 = 0 ∙ 1 ∙ 0 ∙ 1

Ahora bien al multiplicar el lado derecho de la ecuación obtenemos:

0 = 0

Algunas Compuertas Obtenidas con el Teorema de Morgan:

Con esto demostramos las leyes de De Morgan, con estas dos leyes es posible llegar a una gran variedad de conclusiones, por ejemplo:

·         Se puede obtener una compuerta AND al utilizar una compuerta NOR con sus entradas negadas:

·         Se puede obtener una compuerta OR al utilizar una compuerta NAND con sus entradas negadas:

·         Se puede obtener una compuerta NAND al utilizar una compuerta OR con sus dos entradas negadas, como indica la primera ley de De Morgan:

A ∙ B = A + B

·

Se puede obtener una compuerta NOR al utilizar una compuerta AND con sus entradas negadas, como indica la segunda ley de De Morgan

A + B = A ∙ B

Las Leyes de Morgan permiten:

     Son una parte de la Lógica preposicional, analítica, y fueron creadas por Augustus de Morgan. Estas declaran las reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes. Las Leyes de Morgan permiten: El cambio del operador de conjunción en operador de disyunción y viceversa. Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en sus partes).